Numeri primi: test di primalità e scomposizione in fattori primi
Inserisci un numero intero per scoprire se è primo, composto oppure né primo né composto, ottenere la sua scomposizione in fattori primi con esponenti e l'elenco completo dei divisori.
Un numero primo è un intero maggiore di 1 che ha esattamente due divisori: 1 e se stesso. I numeri primi sono i «mattoni» dell'aritmetica, perché ogni intero maggiore di 1 si scompone in modo unico in un prodotto di numeri primi (teorema fondamentale dell'aritmetica). Questa calcolatrice fa due cose: verifica la primalità di un numero con il metodo della divisione per tentativi fino alla radice quadrata, e ne calcola la scomposizione in fattori primi con i relativi esponenti, restituendola anche in forma leggibile come 60 = 2² × 3 × 5. Mostra inoltre l'elenco di tutti i divisori. Gestisce i casi speciali 0 e 1 (né primi né composti) e segnala input non validi o fuori dall'intervallo consentito. Il calcolo è puramente matematico e avviene interamente nel browser.
Numeri primi, composti e i casi 0 e 1
Un numero primo è un intero maggiore di 1 che ha esattamente due divisori distinti: 1 e se stesso. I primi 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, … non si possono scrivere come prodotto di due interi più piccoli (entrambi maggiori di 1).
Un numero composto ha invece più di due divisori: 12, per esempio, è divisibile per 1, 2, 3, 4, 6 e 12. Ogni numero composto si scompone in un prodotto di numeri primi.
I numeri 0 e 1 sono casi speciali: non sono né primi né composti. L'1 ha un solo divisore (se stesso), quindi non rientra nella definizione di primo; lo 0 è divisibile per qualunque numero. Il 2 è l'unico numero primo pari: tutti gli altri primi sono dispari.
Se l'1 fosse considerato primo, la scomposizione in fattori non sarebbe più unica (si potrebbe moltiplicare per 1 infinite volte). Escludere l'1 rende valido il teorema fondamentale dell'aritmetica.
Come si verifica se un numero è primo
Il metodo più diretto è la divisione per tentativi: si prova a dividere n per i numeri da 2 in su. Se nessuno lo divide esattamente, n è primo. Il trucco che rende il calcolo veloce è che basta fermarsi alla radice quadrata di n: se n avesse un divisore maggiore di √n, dovrebbe avere anche un divisore complementare minore di √n, che si sarebbe già trovato.
In pratica si controlla prima il 2, poi solo i numeri dispari (3, 5, 7, …) fino a √n. Per verificare se 97 è primo basta provare i dispari fino a 9 (perché √97 ≈ 9,8): 3, 5, 7, 9 — nessuno lo divide, quindi 97 è primo.
Lo schema seguente illustra il procedimento sulla verifica di un numero composto.
La scomposizione in fattori primi
Ogni intero maggiore di 1 si scrive in modo unico come prodotto di numeri primi, eventualmente ripetuti. Questa scomposizione si chiama fattorizzazione e si scrive in forma compatta usando gli esponenti per i fattori ripetuti: 60 = 2 × 2 × 3 × 5 = 2² × 3 × 5.
Il procedimento è semplice: si divide il numero per il più piccolo primo possibile (di solito 2), poi si continua con il quoziente, e così via finché si arriva a 1. I fattori usati, contati con la loro molteplicità, formano la scomposizione. Per 100: 100 ÷ 2 = 50, 50 ÷ 2 = 25, 25 ÷ 5 = 5, 5 ÷ 5 = 1, quindi 100 = 2² × 5².
La fattorizzazione è alla base del calcolo del MCD e del mcm e della semplificazione delle frazioni.
Se un numero è primo, la sua fattorizzazione è il numero stesso: 97 = 97. Questo è il segnale immediato che il numero non ha divisori propri oltre 1 e se stesso.
| Numero | Scomposizione | Forma compatta |
|---|---|---|
| 60 | 2 × 2 × 3 × 5 | 2² × 3 × 5 |
| 100 | 2 × 2 × 5 × 5 | 2² × 5² |
| 360 | 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 5 | 2³ × 3² × 5 |
| 97 | 97 | 97 (è primo) |
| 1 | — | nessun fattore primo |
Dai fattori primi a tutti i divisori
Conoscendo la scomposizione in fattori primi si ricavano subito tutti i divisori di un numero e anche il loro numero esatto. Se n = p^a × q^b × …, il numero totale di divisori è (a+1) × (b+1) × … perché ogni fattore primo può comparire da 0 alla sua potenza massima.
Per 60 = 2² × 3 × 5 i divisori sono (2+1) × (1+1) × (1+1) = 12: precisamente 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60. La calcolatrice elenca automaticamente tutti i divisori positivi del numero inserito.
Un numero primo ha sempre esattamente due divisori (1 e se stesso): è la definizione stessa di primo.
Curiosità e numeri primi notevoli
I numeri primi sono infiniti: lo dimostrò Euclide oltre duemila anni fa. Diventano però sempre più radi man mano che i numeri crescono. Il 2 è l'unico primo pari; tutti gli altri sono dispari, perché ogni pari maggiore di 2 è divisibile per 2.
I primi hanno un ruolo centrale nella crittografia moderna: la sicurezza di molti sistemi (come RSA) si basa sulla difficoltà di scomporre in fattori primi numeri molto grandi. Verificare la primalità è rapido; fattorizzare un numero enorme è invece estremamente oneroso, ed è proprio questa asimmetria a rendere sicure le chiavi.
Per garantire rapidità in ogni dispositivo, il numero inserito può arrivare fino a 1.000.000.000.000 (mille miliardi): in questo intervallo sia il test di primalità sia la fattorizzazione restano istantanei.
Formula
primalità: n è primo se non ha divisori interi tra 2 e √n (per n > 1) casi speciali: 0 e 1 → né primo né composto; 2 → unico primo pari fattorizzazione: n = p₁^a₁ × p₂^a₂ × … (primi crescenti, esponenti = molteplicità) numero di divisori: se n = p₁^a₁ × p₂^a₂ × … allora #divisori = (a₁+1) × (a₂+1) × …
Esempi
- 97primo
- 60composto · 60 = 2² × 3 × 5
- 100composto · 100 = 2² × 5²
- 1né primo né composto
- 2primo (unico primo pari)
- 13primo
Domande frequenti
Che cos'è un numero primo?
Il numero 1 è primo?
Il 2 è un numero primo?
Come si verifica se un numero è primo?
Perché basta arrivare alla radice quadrata?
Che cos'è la scomposizione in fattori primi?
Come si scompone 60 in fattori primi?
Quanti divisori ha un numero?
Qual è il numero primo più grande che posso inserire?
I numeri primi sono infiniti?
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Ultimo aggiornamento: 14 giugno 2026