MCD e mcm: massimo comun divisore e minimo comune multiplo
Inserisci due o più numeri interi separati da spazio o virgola e ottieni subito il massimo comun divisore (MCD) e il minimo comune multiplo (mcm), calcolati con l'algoritmo di Euclide.
Il massimo comun divisore (MCD) e il minimo comune multiplo (mcm) sono due strumenti di base dell'aritmetica: il MCD è il più grande numero che divide esattamente tutti i numeri dati, il mcm è il più piccolo numero che li contiene tutti come divisori. Servono ogni giorno, dalla scuola in poi: per semplificare le frazioni (si divide numeratore e denominatore per il loro MCD), per sommare frazioni con denominatori diversi (serve il mcm dei denominatori), per ripartire quantità in parti uguali o sincronizzare cicli che si ripetono. Questa calcolatrice accetta due o più interi positivi, li elabora con l'algoritmo di Euclide direttamente nel browser e mostra subito entrambi i valori, senza inviare dati e senza registrazione.
Come funziona: MCD, mcm e l'algoritmo di Euclide
Il massimo comun divisore (MCD) di due o più numeri è il più grande intero che li divide tutti senza resto. Il minimo comune multiplo (mcm) è il più piccolo intero positivo che è multiplo di tutti i numeri dati. I due sono legati da una relazione semplice: per due numeri a e b vale mcm(a, b) = (a × b) ÷ MCD(a, b).
Il modo più rapido per trovare il MCD è l'algoritmo di Euclide: si divide il numero più grande per il più piccolo e si tiene il resto; poi si ripete sostituendo la coppia (a, b) con (b, resto), finché il resto diventa 0. L'ultimo divisore usato, quello che dà resto 0, è il MCD. È molto più veloce della scomposizione in fattori primi, soprattutto con numeri grandi.
Esempio passo-passo con 48 e 36: si fa 48 ÷ 36 con resto 12, quindi si passa alla coppia (36, 12); poi 36 ÷ 12 dà resto 0, quindi il MCD è 12. Da qui il mcm: (48 × 36) ÷ 12 = 144. Con più di due numeri si procede a catena: prima i primi due, poi il risultato con il terzo, e così via.
- MCD = il più grande divisore comune a tutti i numeri
- mcm = il più piccolo multiplo comune a tutti i numeri
- Relazione (due numeri): mcm(a, b) = (a × b) ÷ MCD(a, b)
- Euclide: MCD(a, b) = MCD(b, a mod b), fino a resto 0
Esempi svolti: coppie e terne
Alcuni casi tipici aiutano a capire il legame tra i due valori. Quando i numeri non hanno fattori in comune (numeri primi tra loro) il MCD è 1 e il mcm coincide con il loro prodotto; quando uno è multiplo dell'altro, il MCD è il più piccolo e il mcm è il più grande.
| Numeri | MCD | mcm |
|---|---|---|
| 12 e 18 | 6 | 36 |
| 8 e 12 | 4 | 24 |
| 12, 18 e 24 | 6 | 72 |
| 7 e 13 (primi tra loro) | 1 | 91 |
A cosa servono MCD e mcm
Il MCD serve soprattutto a semplificare le frazioni: dividendo numeratore e denominatore per il loro MCD si ottiene la frazione ridotta ai minimi termini. Per esempio 18/24 si semplifica dividendo entrambi per il MCD (6) e diventa 3/4. È utile anche quando bisogna suddividere quantità diverse in gruppi uguali più grandi possibile.
Il mcm serve quando si sommano o sottraggono frazioni con denominatori diversi: il denominatore comune più conveniente è proprio il mcm dei denominatori. Si usa anche nei problemi con eventi che si ripetono a intervalli diversi — due autobus che partono ogni 12 e ogni 18 minuti tornano a partire insieme dopo mcm(12, 18) = 36 minuti.
Il MCD è sempre minore o uguale al più piccolo dei numeri; il mcm è sempre maggiore o uguale al più grande. Se due numeri sono primi tra loro, MCD = 1 e mcm = prodotto dei due.
Formula
MCD(a, b) = MCD(b, a mod b) (algoritmo di Euclide, fino a resto 0) mcm(a, b) = (a × b) ÷ MCD(a, b) Per più numeri: si calcola a coppie, riducendo (es. MCD(a, b, c) = MCD(MCD(a, b), c))
Esempi
- MCD e mcm di 12 e 18MCD 6 · mcm 36
- MCD e mcm di 8 e 12MCD 4 · mcm 24
- MCD e mcm di 12, 18 e 24MCD 6 · mcm 72
- MCD e mcm di 7 e 13MCD 1 · mcm 91
Domande frequenti
Che cos'è il massimo comun divisore (MCD)?
Che cos'è il minimo comune multiplo (mcm)?
Come funziona l'algoritmo di Euclide?
Qual è la relazione tra MCD e mcm?
Posso calcolare MCD e mcm di più di due numeri?
Cosa succede se due numeri sono primi tra loro?
Posso inserire numeri decimali o negativi?
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Ultimo aggiornamento: 14 giugno 2026