Equazione di secondo grado ax² + bx + c = 0: discriminante e radici
Inserisci i coefficienti a, b e c dell'equazione ax² + bx + c = 0 e ottieni subito il discriminante Δ e le soluzioni: due radici reali, una radice doppia o due radici complesse coniugate, con i passaggi.
Un'equazione di secondo grado ha la forma ax² + bx + c = 0, con a diverso da zero. La chiave per risolverla è il discriminante Δ = b² − 4ac, che decide quante e che tipo di soluzioni esistono: se Δ è positivo ci sono due radici reali distinte, se è nullo c'è una sola radice reale (doppia), se è negativo le due radici sono numeri complessi coniugati. Le radici si calcolano con la formula risolutiva x = (−b ± √Δ) / (2a). Questa calcolatrice applica esattamente questo procedimento e gestisce anche il caso limite in cui a = 0, quando l'equazione non è più di secondo grado: se b è diverso da zero diventa un'equazione lineare con un'unica soluzione x = −c / b, altrimenti è degenere (nessuna soluzione o infinite). Tutti i calcoli avvengono nel browser, con i passaggi mostrati, senza inviare dati e senza registrazione.
La formula risolutiva e il discriminante
Per risolvere ax² + bx + c = 0 (con a ≠ 0) si usa la formula risolutiva: x = (−b ± √Δ) / (2a), dove Δ = b² − 4ac è il discriminante. Il segno di Δ determina la natura delle soluzioni, prima ancora di calcolarle.
Se Δ > 0 l'equazione ha due radici reali distinte (la radice quadrata di Δ è un numero reale, sommato e sottratto). Se Δ = 0 le due radici coincidono in una sola radice reale doppia, x = −b / (2a). Se Δ < 0 non esistono radici reali: si ottengono due radici complesse coniugate, della forma p ± qi, con parte reale p = −b / (2a) e parte immaginaria q = √(−Δ) / (2a).
Lo schema riassume i tre casi a seconda del segno del discriminante.
Esempi svolti per ogni caso
Vediamo un esempio per ciascun caso. Δ > 0 — per x² − 5x + 6 = 0 si ha Δ = (−5)² − 4·1·6 = 25 − 24 = 1; le radici sono x = (5 ± 1) ÷ 2, cioè 3 e 2. Δ = 0 — per x² − 4x + 4 = 0 il discriminante è 16 − 16 = 0 e c'è una sola radice doppia x = 4 ÷ 2 = 2. Δ < 0 — per x² + 1 = 0 si ha Δ = 0 − 4 = −4 e le radici sono complesse: 0 + i e 0 − i.
Quando a = 0 l'equazione perde il termine in x² e non è più di secondo grado. Per esempio 2x − 4 = 0 è lineare e ha l'unica soluzione x = 4 ÷ 2 = 2; se anche b = 0 l'equazione è degenere (0 = 0 è sempre vera, 5 = 0 è sempre falsa).
Quando le radici sono reali puoi controllarle con le relazioni di Viète: la somma vale −b ÷ a e il prodotto vale c ÷ a. Per x² − 5x + 6 = 0: somma 3 + 2 = 5 = −(−5)÷1 e prodotto 3 × 2 = 6 = 6 ÷ 1. Un modo veloce per verificare il risultato.
| Equazione | Δ | Caso | Soluzioni |
|---|---|---|---|
| x² − 5x + 6 = 0 | 1 | Δ > 0 | x = 3 e x = 2 |
| x² − 4x + 4 = 0 | 0 | Δ = 0 | x = 2 (doppia) |
| x² + 1 = 0 | −4 | Δ < 0 | 0 + i e 0 − i |
| 2x − 4 = 0 (a = 0) | — | lineare | x = 2 |
Le radici complesse quando Δ < 0
Quando il discriminante è negativo, √Δ non esiste tra i numeri reali, ma esiste tra i numeri complessi: si introduce l'unità immaginaria i, definita da i² = −1. Le due soluzioni diventano numeri complessi coniugati, cioè con la stessa parte reale e parti immaginarie opposte: p + qi e p − qi.
La parte reale è p = −b ÷ (2a), comune a entrambe; la parte immaginaria è q = √(−Δ) ÷ (2a). Per esempio, per x² + 1 = 0 si ha p = 0 e q = 1, quindi le radici sono 0 + i e 0 − i; per x² + 2x + 5 = 0 si ottiene Δ = −16, p = −1 e q = 2, cioè −1 + 2i e −1 − 2i.
Per un'equazione a coefficienti reali, le radici complesse compaiono sempre a coppie coniugate: se p + qi è soluzione lo è anche p − qi. Per questo, quando Δ < 0, la calcolatrice restituisce esattamente due radici simmetriche rispetto all'asse reale.
Formula
Discriminante: Δ = b² − 4ac Δ > 0 → due radici reali distinte: x = (−b ± √Δ) ÷ (2a) Δ = 0 → una radice reale doppia: x = −b ÷ (2a) Δ < 0 → due radici complesse: x = (−b ± i·√−Δ) ÷ (2a) → p ± qi a = 0 → non di secondo grado: lineare x = −c ÷ b (se b ≠ 0), altrimenti degenere
Esempi
- x² − 5x + 6 = 0Δ = 1 · due radici reali: x = 3 e x = 2
- x² − 4x + 4 = 0Δ = 0 · radice doppia: x = 2
- x² + 1 = 0Δ = −4 · radici complesse: 0 + i e 0 − i
- 2x − 4 = 0 (a = 0)Equazione lineare: x = 2
Domande frequenti
Che cos'è un'equazione di secondo grado?
Che cos'è il discriminante e a cosa serve?
Qual è la formula risolutiva dell'equazione di secondo grado?
Quando l'equazione ha due soluzioni reali?
Cosa significa che c'è una radice doppia?
Cosa sono le radici complesse coniugate?
Cosa succede se a = 0?
Come posso verificare le soluzioni reali?
Posso inserire coefficienti decimali o negativi?
Perché le radici complesse compaiono sempre in coppia?
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Ultimo aggiornamento: 14 giugno 2026